Beispiel für eine vollständige Kurvendiskussion

Schritt 1: Eingabe der Funktionsgleichung und Bestimmung der ersten drei Ableitungen

 > restart;
   f := x-> x^3-4*x^2-x+4;
   f´ := D(f);
   f´´:= D(f´);
   f´´´:= D(f´´);

f := x -> x³ - 4x² - x + 4
f´ := x -> 3x² - 8x - 1
f´´ := x -> 6x - 8
f´´´:= 6

Schritt 2: Untersuchung auf Symmetrie zur y-Achse oder zum Ursprung

 > solve(f(x) = f(-x), x);
  solve(f(x) = -f(-x), x);

0, 1, -1
-1, 1

Falls das Schaubild einer Funktion f symmetrisch zur y-Achse ist, gilt f(x) = f(-x). Ist das Schaubild dagegen symmetrisch zum Ursprung gilt f(x) = -f(-x).
Eine Symmetrie liegt dann vor, wenn solve das Ergebnis x liefert.

Schritt 3: Achsenschnittpunkte

Bestimmung der Schnittpunkte mit der x-Achse durch Lösen von f(x) = 0 mit solve:

evalf (solve (f(x) = 0, x));

-1, 1, 4

=> N1(-1|0), N2(1|0) und N3(4|0)

Bestimmung des Schnittpunktes mit der y-Achse:

evalf (f(0));

4

=> Sy (0|4)

Schritt 4: Verhalten für |x| ~> unendlich 

Mit dem Maple-Befehl limit lässt sich ein eventuell vorhandener Grenzwert bestimmen. Es ist das Verhalten von f(x) für x ~> + unendlich und für x ~> - unendlich getrennt zu untersuchen.

limit (f(x), x = infinity);
  limit(f(x), x = -infinity);


+ undendlich
- unendlich

=> f(x) strebt also für x ~> + unendlich nach + unendlich und für x + ~> - unendlich nach - unendlich.

Schritt 5: Extrempunkte 

Notwendige Bedingung:
Die erste Ableitung von f hat eine Nullstelle.

Hinreichende Bedingung:
Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung an der berechneten Stelle.
VZW von + nach - : Hochpunkt
VZW von - nach + : Tiefpunkt

Alternative hinreichende Bedingung:
Die zweite Ableitung ist an der berechneten Stelle negativ: Hochpunkt.
Die zweite Ableitung ist an der berechneten Stelle positiv: Tiefpunkt.

Die Funktionswerte werden mit dem Funktionsterm von f berechnet.

evalf(solve(f´(x) = 0, x));

2.786299648, -0.119632982

Überprüfung mit VZW:

f´(2.7);
  f´(2.8);


- 0.73
  1.12

=> VZW von - nach + : Tiefpunkt.

f´(-0.2);
  f´(-0.1);

0.72
-0.17

=> VZW von + nach - : Hochpunkt

Überprüfung mit der zweiten Ableitung:

f´´(2.786299648);

8.71779789

=> Positiv, also Tiefpunkt.

f´´(-.119632982);

- 8.717797892

=> Negativ, also Hochpunkt.

Bestimmung der Funktionswerte:

f(2.786299648);
  f(-.119632982);

- 8.20882073
4.060672587

=> T(2.79|-8.21) und H(-0.12|4.06).

Schritt 6: Wendepunkte 

Notwendige Bedingung:
Die zweite Ableitung von f hat eine Nullstelle.

Hinreichende Bedingung:
Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung an der berechneten Stelle.

Alternative hinreichende Bedingung:
Die dritte Ableitung ist an der berechneten Stelle ungleich 0.

Die Funktionswerte werden mit dem Funktionsterm von f berechnet.

evalf(solve(f´´(x) = 0, x));

1.3333333

Überprüfung mit VZW:

f´´(1.3);
  f´´(1.4);

- 0.2
  0.4

=> Vorzeichenwechsel: Es liegt ein Wendepunkt vor.

Überprüfung mit der dritten Ableitung:

f´´´(1.333333333);

6

=> Ungleich 0, also Wendepunkt.

Bestimmung des Funktionswertes:

f(1.333333333);

- 2.074074072

=> Wendepunkt W(1.33|-2.07)

Schritt 7: Schaubild

plot ([f(x), f´(x), f´´(x), f´´´(x)], x = -5..5, y = -15..15, color = [red, blue, black, green]);