1: -3, -2, -3, -2 => 6,3
2: +2, -1, +2, -1 => 15,17
2.
das verhältnis 70% zu 40%igem ist 1: 2
3.
Ergebnis: Der Scheich erhält 53 Bananen.
Bezeichnet man den Start in Kashaba mit S, das Ziel in Lumbubu mit Z und nimmt man zwei Zwischenlager bei P1 und P2 an, so ergibt die Lösung der linearen Optimierung (s. weiter unten) für die Distanz von S bis P1 20 km und für die Distanz von P1 bis P2 33 km. {Die Annahme genau eines Zwischenlagers führt auf das Resultat von 40 Bananen}
Dies ergibt den folgenden Transport:
100 Bananen aufladen, 20 km zu P1 marschieren, dort 60 Bananen abladen und zu S zurückkehren.
Nochmals dasselbe wie bei 1.
Bei S 100 Bananen aufladen, 20 km zu P1 marschieren, dort 20 Bananen aufladen.
Von P1 33 km zu P2 marschieren, dort 34 Bananen abladen und zu P1 zurückkehren.
Bei P1 die restlichen 100 Bananen aufladen, zu P2 marschieren und dort 33 Bananen aufladen. Weil das Kamel bisher so gut gearbeitet hat, darf es hier zusätzlich die 'Restbanane' essen!
Von P2 47 km zum Ziel Z marschieren und dem Scheich 53 Bananen übergeben.
Für die mathematisch Interessierten das 'Programm' der linearen Optimierung:
x sei Distanz von S zu P1, y diejenige von P1 zu P2 in km.
Sicher x>0 und y>0. Weiter x<50 und y<50 klar wegen Verlust von 1 Banane pro km.
Bei P1 muss die Anzahl der Bananen nach der fünfmal zurückgelegten Distanz x kleiner oder gleich 200 betragen, also muss 5x 100 sein.
Bei P2 muss die Anzahl der Bananen nach der dreimal zurückgelegten Distanz y kleiner oder gleich 100 betragen, also muss 3y 100 sein.
Die total zurückgelegte Distanz ist 5x + 3y + 100 - x - y = 4x + 2y +100. Sie muss minimal werden (denn 300 - total zurückgelegte Distanz muss maximal werden). Also:
x > 0, y > 0
x < 50, y < 50
5x 100, 3y 100
Zielfunktion z(x,y) = 4x + 2y soll minimal werden
Die Lösung dieser Optimierung ergibt für x 20, für y 33+1/3. Die Anpassung auf ganze Zahlen führt zum Ergebnis.
4.
Alter des Jubilars: 84
Er hat 9 Söhne und 4 Töchter.
Weil der Journalist das Alter des Jubilars kennt, trotzdem aber nicht genügend Angaben hat, um die Anzahl der Kinder zu bestimmen, so muss es für jedes Alter des älteren Herrn mindestens zwei Möglichkeiten geben:
Alter Anzahl Söhne Anzahl Töchter
32 5 4
32 6 2
42 6 4
42 7 1
62 7 5
62 8 3
72 7 6
72 9 1
84 7 7
84 9 4
92 9 5
92 10 2
Nur beim Alter 84 nützt dem Journalisten die Angabe, dass der Jubilar mehr Söhne als Töchter hat.
5.
6/(1-5/7) = 21
Da ich mich unverständlich ausgedrückt habe, lasse ich alle Antworten mit dem Ergebniss 21 gelten.
6.
Aus den Gelichgewichtbedingungen des Mobiles erhält man unmittelbar folgende Gleichungen:
F = 2D
F+B = 7x+F+2D
# = B+6*D+14x
2#+7x = 2E+B
2E+B = 5C+A
5C+A = 4C+21x
C = 3D+A
3A+D+2F = 7x+2C
8 Gleichungen, 8 Unbekannte - oder doch nicht, eine der Gleichungen ist linear abhängig von einer anderen, also redudant, es bleiben 7 Gleichungen und 8 Unbekannte. Das Lösen des Gleichungssystems ergibt:
A = 6D
B = 7D
C = 9D
E = 22D
F = 2D
# = 23D
- muß also eine Kombination von A, B, C, D, E und F sein, die 23D ergibt. Es gibt viele Lösungen, aber nur eine "optimale":
Alle anderen Lösungen erfordern mehr als 2 Gewichte.
7.
Ja, es gibt eine rationale Erklärung: Die Wahrscheinlichkeit, daß Herr S mit dem Audi pünktlich ankommt, ist größer als bei einem Mercedes!
Beispielsweise könnten im geteilten Berlin die Pünktlichkeit wie folgt ausgesehen haben:
Unternehmen A Unternehmen B
Mercedes Audi Mercedes Audi
immer pünklich 5 3 6 9
- > - - > -
nie pünklich 6 4 3 5
Im vereinigten Berlin gilt dann:
Mercedes Audi
immer pünklich 5+6 3+9
— < ---
nie pünklich 6+3 4+5
Dieser Sachverhalt nennt sich "Simpsons Paradoxon".
8.
Jede der Brücken kann entweder intakt sein oder eingestürzt. Da es 13 Brücken gibt, gibt es insgesamt 8192 Möglichkeiten. Gesucht ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus Bild a) Brücken auszuwählen, sodaß man von dem oberen Ufer zum unteren Ufer laufen kann.
=========== ===========
a) | | | b) >>___________>> c) >> | ___ | >>
|___|___| >> | | >> >> |___ | | >>
| | | >>___|___|___>> >>___ | |___>>
|___|___| >> | | >> >> | |___ >>
| | | >>___|___|___>> >>___| | ___>>
| | | >> >> >> | >>
=========== ===========
In Bild b) sind alle eingestürzten Brücken um 90° gedreht dargestellt. Bild c) zweigt eine Überlagerung von a) und b) bei der es genau einen intakten Weg vom Nordufer zum Südufer gibt.
Allgemein kann man eine maximale Überschneidungsfreie Kombination aus Bild a) und Bild b) auswählen; Bild c) ist ein Beispiel dafür. Nun ist es so, daß es bei jedem dieser Paare entweder einen Weg von oben nach unten oder einen von links nach rechts gibt, d.h. die Anzahl der Konfigurationen mit Weg in Bild a) ist gleich der Anzahl der Konfigurationen ohne Weg in Bild b). Weil Bild b) aber genau das um 90° gedrehte Bild a) ist, ist die Anzahl der Konfigurationen ohne Weg in Bild a) gleich der Anzahl der Konfigurationen ohne Weg in Bild b). Daher gibt es bei genau der Hälfte der Konfigurationen, also 4096, einen Weg von oben nach
unten.
Da wegen der genau 50% Zerstörungswahrscheinlichkeit für jede einzelne Brücke alle Kombinationen gleich wahrscheinlich sind, ist somit die gesuchte Wahrscheinlichkeit 50%.
